Toujours pour les motivés ...
Convergence des méridiens, inclinaison de la grille, grid variation ...
Désolé, on s'écarte beaucoup de la déclinaison magnétique ... mais en France les erreurs de nord "grille" sont plus importantes que les erreurs de déclinaison magnétique.
Pour commencer :
lat = latitude d'un lieu
- la latitude est une valeur angulairelaTg =
latitude du parralèle tangent (voir plus loin)
Long = longitude
- la longitude est aussi une valeur angulairesin(angle) = fonction trigonométrique "sinus" d'une valeur angulaire en général
sin(0°) = 0 ; sin(30°) = 0,5 ; sin(45°) = 0,7 ; sin (65°) = 0,9; sin(90°) = 1.
cos(angle) = "cosinus" de cet angle
cos(0°) = 1 ; cos(25°) = 0,9 ; cos(45°) = 0,7 ; cos (60°) = 0,5 ; cos (90°) = 0
tg(angle) = "tangente" de cet angle = sin/cos.
1. Convergence des méridiens.En imaginant la terre, ou en observant une mappemonde, on voit que les méridiens traversent l'équateur en étant bien perpendiculaires à celui-ci et en restant pratiquement paralèles entre eux au voisinage de celui-ci. Cependant, en s'éloignant un peu au delà des tropiques, on voit les méridiens se ressererdavantage. A partir des cercles artiques, ils convergent fortement, pour finalement se rejoindre aux pôles. La convergence des méridiens varie donc avec la latitude.
Sur une carte "classique" où les méridiens sont représentés par des droites (Mercator, Lambert, Polaire) le facteur de convergence est :
sin(laTg) où lat est latitude du
parrallèle tangent et "sin" est la fonction trigonométrique "sinus". Pour la démo ... c'est trop simple!
Pour une mercator, le parallèle tangent est l'équateur - la "projection" se fait sur un cylindre tangent à l'équateur - => laTg=0 => sin(laTg)=0 => les droites représentant les méridiens ne convergent pas.
Pour une polaire, le parallèle tangent est réduit à un simple point au pôle - la projection se fait sur un plan tangent au pôle - où la laTg vaut 90 => sin(90°)=1, le facteur de convergence vaut 1 => deux méridiens différents de 10° convergent aux pôles suivant un angle de 10°
Pour une carte "habituelle" (projection cônique / cannevas Lambert) le cône sur lequel s'effectue la projection est tangent à un parallèle donné : c'est lui le "parallèle tangent" (parfois on dit qu'il est sécant à deux parallèles, mais c'est comme si il était tangent au parallèle moyen). Ainsi, pour les cartes françaises lambert-93, la latitude du parallèle tangent est 46°30'. Le facteur de convergence des méridiens vaut sin(46°30') soit 0,73 => deux méridiens différents de 10° en longitude "convergent" de 7,3° => ils forment entre eux un angle de plus de sept degrés ...
Sur une carte scandinave, le parallèle tangent pourrait se trouver à une latitude de 65° ...
sin(65°)=0,9 => les méridiens "convergent" de 0,9° pour chaque degré de différence de longitude.
Voici une carte météo Europe et Atlantique Nord pour illustrer la convergence des méridiens :
2. Les "Fuseaux" UTMIls sont au nombre de 60 sous les latitudes modérées, ils font donc alors 360°/60 fuseaux = 6° "de large" par fuseaux. Evidemment, en se rapprochant des pôles, les 6° en questions sont de moins en moins larges, c'est pourquoi certains fuseaux sont élargis" (ils font plus que 6°) pour représenter une région donnée sur un seul secteur de fuseau (sud de la suède/norvège par exemple). Partout, on peut utiliser, dans les zones de recouvrement des cartes, un demi degré supplémentaire pour ne pas avoir à tracer deux grilles UTM différentes sur la carte papier.
Pour bien voir les fuseaux UTM et les secteurs : Google Earth / Outils / Options/ Vue 3D/ Afficher lat long=> cocher "Projection transverse mercator"
On doit arriver à voir ceci :
3. Divergence entre le Nord de la grille et le Nord vraiLa "verticale" d'une grille UTM est prise d'après le méridien CENTRAL du fuseau.
Donc, au centre d'un fuseau, pas de problème, les verticales de la grille indiquent bien le nord.
Mais quand on s'écarte du centre d'un fuseau ... alors que les verticales de la grille restent parallèles entre elles (par définition), la convergence des méridiens se fait sentir! Hors, ce sont les méridiens qui indiquent le Nord vrai!
Ainsi, à l'extrémité Est d'un fuseau "normal", soit 3° à l'est du méridien central de ce fuseau, le méridien extérieur "converge" vers le méridien central de : 3° * facteur de convergence
Donc, en France, avec un facteur de convergence de 0,73 le méridien 3° à l'est du méridien central d'un secteur est incliné à gauche de 2,2° environ vers le méridien central du secteur ... alors que les verticales de la grille restent parallèles au méridien central. Le Nord grille est alors 2,2° à droite du Nord Vrai.
4. Ecart en longitude par rapport au centre d'un fuseau, d'après le Easting d'un lieuFaut s'accrocher ...
Les coordonnées UTM sont conçues pour qu'il n'y ait jamais de nombres négatifs ...
Le Easting est toujour relatif à un fuseau particulier
Alors, plutôt que de mettre "zéro" au milieu, on a tout décalé.
Le "Easting" vaut (par convention) 500.000 mètres au centre d'un fuseau. Le "zéro" tombe toujours bien à l'extérieur, à gauche d'un fuseau, et le 1.000.000 tombe toujours de même bien à l'extérieur, à droite du fuseau.
Un easting de 400.000 se rapporte donc à un point situé 100 km à gauche du méridien central du fuseau, et un easting de 600.000 se rapporte à un point situé à 100 km à l'est du méridien central du fuseau.
Pour avoir la distance (en mètres) par rapport au centre du fuseau, il faut donc soustraire 500.000 de la valeur du easting. Si c'est négatif, le point est à gauche, si c'est négatif, le point est à droite, toujours par rapport au centre.
Pour avoir l'écart en longitude entre un point donné et le méridien central d'un fuseau, il faut tenir compte de la valeur variable (en mètres) d'un degré de longitude en fonction de la latitude du lieu.
A l'équateur, un degré de longitude vaut 111.111 m mesurés le long de l'équateur.
Au pôle, un degré de longitude vaut zéro
A une latitude donnée, un degré d'écart de longitude, mesuré le long du parallèle correspondant à cette latitude, vaut :
111.111 m * cos(lat)En France méridionale donc, par 45° de latitude Nord, entre les méridiens 4° Est et 5° Est, la distance est à peu près 78 km.
Donc soit Ea l' écart angulaire par rapport au méridien central d'un fuseau :
Ea = (Easting-500.000)/(111.111*cos(lat))
où lat est la latitude du lieu
Donc : Convergence = Écart angulaire * facteur de convergence
Différence Nord Grille par rapport au nord vrai = convergence ...
Si la convergence ainsi calculée est positive, le Nord grille est à droite du Nord vrai ... dans l'hémisphère nord!
On approche de la fin ...
5. La latitude d'un lieu en fonction du northingUn degré de latitude vaut toujours 111.111 m, mesuré le long d'un méridien.
Le northing d'un lieu exprime la distance en mètres par rapport à l'équateur ...
latitude du lieu = Northing de ce lieu / 111.111 =
En actualisant la formule de l'écart angulaire ...
Ea = (Easting-500.000) / 111.111*cos(Northing/111.111)
Convergence = facteur de convergence * Ea
Convergence = sin(latitude du parallèle tangent) * (Easting-500.000)/111.111*cos(Northing/111.111)Dans l'hémisphère Nord ...6. Une grosse approximation ...pour une grosse simplification ...
C'est trop tentant ...
On va dire que la latitude du parallèle tangent = la latitude du lieu
Position approximatrive du Nord Grille par rapport au Nord Vrai :
tg(Northing/111.111)*(Easting-500.000)/111.111Position en degrés, à droite ou à gauche
Si positif : le Nord Grille est à droite du Nord Vrai
Avec les Northing et Easting exprimés en mètres.
Valable pour l'hémisphère nord uniquement.
Ouf!
On retombe sur nos pattes?
Par 45°Nord, la tangente vaut 1.
=> En un point de Easting 722.222, la verticale grille est 2° à droite du Nord ...
=> En un point de Easting 277.778, la verticale grille est deux degrés à gauche du Nord.
7. ConclusionSachant que dans certains secteurs en Scandinavie, la convergence des méridiens atteint trois, voire quatre degrés en limite de fuseau, il faut veiller à ne pas accumuler les erreurs de grille et les erreurs de déclinaison ...
Bon dimanche studieux ... interro lundi à la première heure!
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